¿Cuantas diagonales puedo trazar en un polígono con un ángulo interno dado?

Se trata de un ejercicio sencillo que podemos resolver mediante unas formulas.

Imaginemos que el ángulo interno es 144º ¿cuantas diagonales puedo trazar?

D=n(n-3)/2 donde n es el numero de lados.

Como vemos en la formula, necesitamos saber cuantos lados tiene el polígono, el ejercicio nos aporta un dato clave, nos dicen que el angulo interno es 144º, con este dato podemos saber cuantos lados tiene el polígono. Aplicando la siguiente formula:

angulo interno= 180*(n-2)/n

Sustituyendo tenemos: 144=180*(n-2)/n 

Luego dejando los términos con n a un lado de la igualdad llegaremos a: 36n=360

Luego despejando n valdrá 10.

Por lo tanto ya sabemos que nuestro polígono tiene 10 lados

Llegados a este punto ya estamos en condiciones de usar la formula de la D:

D=10(10-3)/2=35

Por lo tanto el polígono tiene 35 diagonales.

Los sólidos platónicos

Existen infinitos polígonos regulares ¿no te sorprende que solo existan cinco poliedros regulares?

A los griegos les impresionaba tanto que solo existieran cinco poliedros regulares, que Platón identificaba cada uno de ellos con un elemento natural.

El octaedro con el aire.
El cubo con la tierra.
El icosaedro con el agua.
El tetraedro con el fuego.
El dodecaedro con el orden del universo.

Platón da la definición de cuando un solido es regular si "tiene la propiedad de dividir en 

partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que esta inscrito". Después 

estudia la generación y composición de los poliedros mediante elementos geométricos: 

triángulos rectángulos con la hipotenusa doble de un cateto para el tetraedro, octaedro e 

icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el cubo. 

Para Platón el hacedor del universo creo el orden a partir del caos de los elementos por 

medio de las formas y los números esenciales de los poliedros, lo que culmina en la 

disposición armónica de los cinco elementos en el universo.

Teorema de Pitágoras en el espacio

Generalizando el teorema de Pitágoras al espacio vamos a calcular la diagonal de un ortoedro.

OBCD es rectángulo.
OC es la diagonal de la cara.
OCAE es rectángulo.
d=OA es la diagonal del ortoedro.(es el segmento que une dos vértices no situados en la misma cara)

l=√(a^2+b^2 )
d=√(a^2+b^2+c^2 )

Utilizando dos veces el teorema de Pitágoras se tiene:

OC^2=a^2+b^2
d^2=OA^2=OC^2+c^2=a^2+b^2+c^2

Por lo tanto d=√(a^2+b^2+c^2 )

Los valores de las aristas de un ortoedro se llaman dimensiones.

En un ortoedro el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.

Hacer mosaicos con figuras geometricas

Un mosaico es, matemáticamente y a grosso modo, el redescubrimiento del plano mediante figuras, de tal forma que no se solapen ni queden huecos entre ellas. 

El mosaico o teselado es una superficie recubierta con pequeñas piezas de vidrio, piedra o madera, o simplemente coloreadas, planas y de variados colores. Llamamos tesela a cada una de las piezas utilizadas para configurar un mosaico.

Existen muchas formas de obtener un mosaico. Por regla general en los mosaicos aparece una figura plana geométrica o artística que se va repitiendo indefinidamente por el plano. Los mas sencillos o teselados regulares están formados por polígonos regulares del mismo tipo. Solo existen tres teselaciones regulares: con cuadrados, con triángulos equilateros y con hexágonos regulares. Pero también se pueden formar mosaicos combinando varios tipos de polígonos regulares teniendo en cuenta que el patrón debe ser el mismo en todos los vértices.

Los teselados irregulares están formados a partir de polígonos regulares e irregulares cuya distribución en los distintos vértices es cíclica.

El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad" por las cualidades que el juego requiere.

El tangram es un rompecabezas esta formado por

1. 5 triángulos rectángulos de diferentes tamaños
2. 1 cuadrado
3. 1 romboide   

El juego consiste en construir figuras geométricas, utilizando todas las piezas sin sobreponerlas.

Aquí os dejo un vídeo donde realizan un trapecio rectángulo usando el tangram: 

¿Qué es el cubismo?

La aparición del cubismo es uno de los fenómenos culturales más revolucionarios del siglo XX. Es un movimiento que esta íntimamente ligado a la figura de Pablo Picasso que es quien da a conocer el nuevo estilo a partir de una obra que se convertirá en el manifiesto de esta nueva tendencia "Las señoritas de avignón".

Para los cubistas lo que importan son las formas, no solo como las vemos sino como sabemos que son, es decir su esencia. La visión totalitaria y esencial de las cosas obliga a reducir los objetos a sus formas geométricas esenciales. Ademas hay que introducir en el cuadro la visión desde todos los puntos de vista simultáneamente, lo que obliga a la descomposición de la figura en múltiples elementos prismáticos que nos permitan contemplar a la vez partes anteriores, posteriores y laterales de una misma figura.

También introducir la cuarta dimensión: el tiempo. Hay que representar el objeto moviéndose lo que solo es posible hacer plasmando imágenes sucesivas de una misma figura a base de compartimentar sus distintas estructuras o partes. "Las cosas aunque no las vemos así, también son así."

Fórmula de Euler: Fórmula de los poliedros

Esta fórmula, atribuida a René Descartes (1956-1650), y más conocida por la fórmula de  Euler, relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro. Observar que en esta fórmula no interviene ninguna magnitud de medida.

Fórmula Euler: V-A+C=2

V = vértices

A = aristas

C = caras

Esta fórmula fue escrita en 1751.

Ejemplos:

Comprobamos como funciona la fórmula con el Octaedro:

6-12+8=2

Gracias a esta fórmula nacería la topología 

Messi dispara el icosaedro y..... GOOOOOL!!!

Aunque parezca mentira, cuando disparas un balón de fútbol éstas dándole una patada a un icosaedro truncado.

La forma geométrica de un balón de fútbol es un icosaedro truncado ya que consta de 12 pentágonos y 20 hexágonos y ocupa el 87,75% de la esfera, la cual se logra gracias al hinchado del balón y a que el cuero es capaz de deformarse ligeramente.

Un nuevo diseño del balón, formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos se acercaría más a la esfera (en un 94,32%).

Cómo hacer poliedros pirámides en papel

Necesitaras papel, una regla y pegamento

Los pasos a seguir son los siguientes:

Primero: Dibuja un cuadrado en tu papel
Segundo: Dibuja un triangulo usando cada lado del cuadrado como base, (es decir, debes dibujar 4 triángulos) de tal modo que la parte superior del triangulo debe estar alineada con el centro del cuadrado. (Los triángulos deben ser iguales)
Tercero: Añade lengüetas
Cuarto: Recorta la figura
Quinto: Ponlo en forma de pirámide y pega los bordes entre sí. 

Con esto tendríamos una pirámide, para tener un poliedro debemos hacer unas cuantas pirámides y pegarlas entre sí, cuantas más pirámides pegamos entre sí mas complejo sera el poliedro.

Os dejo un vídeo donde realizan una pirámide con otro método:

¡Bienvenidos!

Bienvenidos al blog donde voy a desarrollar mi PLE (entorno personal de aprendizaje) sobre docencia en educación secundaria, en mi caso en el nivel de 3º de ESO.

La unidad didáctica que voy a desarrollar abarca las formas poliédricas y áreas y volúmenes, dentro del bloque 4: Geometría. 

Tratare de publicar articulos, videos, enlaces de interes, uso de redes sociales...

Espero que lo disfruteis